微分方程组

利用特征值和特征向量将常系数线性微分方程转换到线性代数来研究

$u(t)=u(0)e^{\mathit{\lambda }\mathbf{t}}$

选择 $\mathbf{u}=e^{\lambda t}\mathbf{x}$，当 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 时，${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}}=A\mathbf{u}=A{e}^{\lambda t}\mathbf{x}=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{x}$

解法

将初始条件（初始向量）$\mathbf{u}(0)$ 写为 $A$ 的特征向量的线性组合
将各个特征向量乘以增长因子 $e^{{\lambda }_i}$
则得到微分方程组的解

$X\mathbf{c}=\mathbf{u}(0)$ 求得系数向量 $\mathbf{c}$

二阶微分方程

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ -{\displaystyle \frac{k}{m}}& -{\displaystyle \frac{b}{m}}-\lambda \end{array}\right)$ 有特征值 ${\lambda }^2+{\displaystyle \frac{b}{m}}\lambda +{\displaystyle \frac{k}{m}}=0$
也就是特征方程 $(m{\lambda }^2+b\lambda +k)e^{\lambda t}=0$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4mk$
$b$ 与阻尼有关

• Underdamping 欠阻尼 $\mathrm{\Delta }<0$
• Critical damping 过阻尼 $\mathrm{\Delta }=0$
• Overdamping 临界阻尼 $\mathrm{\Delta }>0$
  二阶系统的时域分析

系统稳定性

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}(t)}{\mathrm{d}t}}=A\mathbf{u}(t)$, 当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时，$\mathbf{u}(t)$ 趋于无穷还是零？
如果 $t\to \mathrm{\infty }$ 时, $e^{\lambda t}=e^{(r+is)t}\to 0$ ，则 $r<0$ 实部为正，系统稳定

当矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 如果矩阵稳定，则有：

• 矩阵的迹小于零 $Tr=a+d={\lambda }_1+{\lambda }_2<0$
• 矩阵的行列式大于零 $D=ad-bc={\lambda }_1{\lambda }_2>0$